Được định nghĩa bởi nhà toán học John Nash trong một bài báo rút gọn chỉ một trang cho Tạp chí Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Hoa Kỳ (PNAS) năm 1950, khái niệm này đã cách mạng hóa không chỉ kinh tế học mà còn cả sinh học, khoa học chính trị, khoa học máy tính và nhiều lĩnh vực khác. Năm 1994, Nash đã được trao giải Nobel Kinh tế cho đóng góp này, và cuộc đời ông sau này được làm thành bộ phim giải thưởng Oscar “A Beautiful Mind” (2001).
Định nghĩa cân bằng Nash
Câu chuyện đầu có vẻ đơn giản nhưng lại có hàm ý sâu sắc: Một tập hợp các chiến lược (một cho mỗi người chơi) được gọi là cân bằng Nash nếu không có người chơi nào có thể cải thiện kết quả của mình bằng cách đơn phương thay đổi lược chiến lược của riêng mình, trong khi tất cả những người chơi khác giữ nguyên chiến lược của họ. Nói cách khác, trong cân bằng Nash, chiến lược của mỗi người chơi là phản ứng tốt nhất (chiến lược trội) cho chiến lược của tất cả người chơi khác. Không ai có động lực để “đào tẩu” khỏi cân bằng nếu họ tin rằng những người khác sẽ góp phần thúc đẩy chiến lược cân bằng của họ.
Để hiểu rõ hơn, hãy quay lại với ví dụ kinh điển: bài toán Tù nhân (Prisoner’s Dilemma) . Tội phạm bị bắt riêng và không thể tiếp tục. Mỗi người được đề nghị: nếu bạn khai báo đồng đám (pháp bội) trong khi người kia im lặng (hợp tác), bạn sẽ được thả tự do còn người kia phải ngồi tù 10 năm. Nếu cả hai im lặng, mỗi người ngồi 1 năm. Nếu cả hai khai báo, mỗi người ngồi 5 năm. Hãy phân tích góc của một nhân vật: Nếu người kia im lặng, tôi nên khai báo (0 năm tốt hơn 1 năm). Nếu người kia khai báo, tôi vẫn nên khai báo (5 năm tốt hơn 10 năm). Vì vậy, bất kể người kia làm gì, chiến lược tốt nhất của tôi là khai báo. Tương tự cho thứ hai của người chơi. Do đó, (Khai báo, Khai báo) là cân bằng Nash duy nhất của trò chơi này.
Điều đáng chú ý và đầy nghịch lý trong bài toán Tù nhân là cân bằng Nash (tất cả hai khai báo) không phải là kết quả tốt nhất cho cả hai người chơi. Nếu cả hai im lặng, họ sẽ chỉ phải ngồi tổng cộng 2 năm thay vì 10 năm. Nhưng giải pháp “tất cả im lặng” không phải là cân bằng Nash vì mỗi người có động lực đơn phương đào tẩu và khai báo. Đây chính là chất của “tình thế khó xử lý”: kết quả cân bằng không hiệu quả về mặt Pareto (có các kết quả khác tốt hơn cho cả hai), nhưng là kết quả duy nhất ổn định nó về mặt chiến lược.
Nền tảng nền tảng của Nash là: Mọi trò chơi hữu ích (số người chơi hữu hạn, mỗi người có số chiến lược hữu hạn) đều có ít nhất một cân bằng Nash, có thể là chiến lược thuần túy hoặc chiến lược lược hợp. Lý do này được chứng minh bằng Kakutani định nghĩa bất động. Điều này có ý nghĩa đối với bất kỳ giới hạn quyền sở hữu trò chơi nào, chúng tôi luôn có thể tìm thấy ít nhất một tập hợp chiến lược ổn định. Tuy nhiên, một trò chơi có thể có nhiều cân bằng Nash, hoặc trong một số trường hợp độc, không có cân bằng Nash thuần túy (chỉ có cân bằng độc hợp).
Tại sao cân bằng Nash lại quan trọng?
Có ba lý do chính làm cho khái niệm này trở thành cơ sở trong lý thuyết trò chơi và khoa học xã hội rộng hơn:
Thứ ba, cân bằng Nash cung cấp một dự đoán về kết quả có khả năng xảy ra. Nếu người chơi là lý trí và biết trò chơi đang chơi (bao gồm cả biết rằng người khác cũng là lý trí), thì họ nên đạt được cân bằng Nash. Tại sao? Bởi vì nếu họ đang ở một trạng thái không cân bằng Nash, ít nhất một người chơi sẽ nhận ra rằng họ có thể cải thiện kết quả của mình bằng cách thay đổi chiến lược và điều đó sẽ thay đổi. Quá trình này tiếp tục cho đến khi đạt được cân bằng Nash, nơi không ai muốn thay đổi nữa. Điều này làm cho cân bằng Nash trở thành điểm dừng tự nhiên của quá trình lý luận chiến lược.
Thứ hai, cân bằng Nash là một đồng thuận tự thực thi. Điều này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong các vấn đề không có cơ chế thực hiện bên ngoài. Nếu tất cả những người chơi ý chơi theo chiến lược cân bằng Nash, thì mỗi người đều có động lực thúc thủ đồng ý điều này ngay cả khi không có ai giám sát hoặc trừng phạt. Điều này giải thích tại sao một số thỏa thuận thuận lợi trong kinh tế và quốc tế chính trị có thể tồn tại mà không cần cơ quan thực thi mạnh mẽ – chúng là cân bằng Nash và do đó tự ổn định.
Thứ ba, cân bằng Nash cung cấp một chuẩn (điểm chuẩn) để đánh giá hiệu quả. Bằng cách so sánh kết quả cân bằng Nash với các kết quả khác có thể có, chúng tôi có thể xác định dữ liệu là “ít mát phân phối hợp lý” (lỗi phối hợp) hay không. Trong bài toán Tù nhân, chúng tôi thấy rằng cân bằng Nash dẫn đến kết quả ít hơn nhiều nên hợp lý hoàn toàn. Nhận thức này đã được nghiên cứu kỹ lưỡng về cách thiết kế các cơ chế và thể chế để khuyến khích hợp lý.
Tuy nhiên, cần lưu ý một số giới hạn quan trọng của cân bằng Nash. Một là vấn đề lựa chọn cân bằng : khi có nhiều cân bằng Nash, lý thuyết không cho chúng ta biết cân bằng nào sẽ được chơi. Trong trò chơi “Battle of the Sexes”, có hai cân bằng Nash thuần túy, nhưng làm thế nào để người chơi phân phối hợp lý để chọn một trong số họ? Điều này đã dẫn đến nghiên cứu về “tinh chỉnh cân bằng” (tinh chỉnh cân bằng) – các tiêu chí bổ sung để loại bỏ các cân bằng “không hợp lý”.
Hai giải pháp tính toán hợp lý của giả định . Cân bằng Nash Hỏi người chơi biết trò chơi, biết rằng người khác là lý trí, biết rằng người khác biết họ là lý trí, vv (kiến thức chung về lý trí). Trong thực tế, tất cả mọi người đều không thể có cấp độ phân tích chiến lược này. Các phòng thí nghiệm cho thấy hành vi thực tế đôi khi phản cảm đáng kể từ dự đoán cân bằng Nash, đặc biệt là trong các trò chơi phức tạp hoặc khi người chơi chưa quen với vấn đề.
- Lý thuyết trò chơi là gì? Toán học ứng dụng trong lý thuyết trò chơi như thế nào?
- Các yếu tố chính của một trò chơi trong lý thuyết trò chơi
- Ý nghĩa của việc người chơi có chiến lược trong một trò chơi
- Sự khác biệt giữa trò chơi hợp tác và trò chơi phi hợp tác
- Trò chơi tổng bằng không là gì và chúng khác với các trò chơi khác như thế nào?
- Lý thuyết Trò chơi được sử dụng như thế nào trong kinh tế và ra quyết định hàng ngày?
- Ví dụ về cách Lý thuyết trò chơi ảnh hưởng đến các vấn đề thực tế
Ba là cân bằng Nash không thể có hiệu quả . Như đã thấy trong bài toán Tù nhân, cân bằng Nash có thể dẫn đến kết quả cuối cùng cho tất cả mọi người và các kết quả khác. Điều này làm nổi bật một điểm quan trọng: cân bằng Nash mô tả những gì có khả năng xảy ra khi mọi người hành động vì lợi ích riêng của họ, không phải những gì nên xảy ra từ quan điểm xã hội. Đây là lý do tại sao các nhà hoạch định chính sách quan tâm đến việc thiết kế các cơ chế (thiết kế cơ chế) – thay đổi cấu trúc của trò chơi để cân bằng việc sao chép Nash với kết quả mong muốn về mặt xã hội.
Bất chấp những giới hạn này, cân bằng Nash vẫn là công cụ phân tích quan trọng nhất trong lý thuyết trò chơi hiện đại. Nó đã được áp dụng thành công trong vô số lĩnh vực: phân tích cạnh tranh độc quyền, thiết kế đấu giá tần số viễn thông, hiểu chiến lược tiến hóa trong sinh học, phân tích đua vũ trang và ngoại giao quốc tế, thiết kế thị trường lao động y tế, và nhiều ứng dụng khác. Khả năng kỳ vọng và giải pháp thích hợp trong các vấn đề tương tác phức tạp cho cân bằng Nash trở thành một trong những lời khuyên quan trọng nhất của toán học cho khoa học xã hội ở thế kỷ 20.
